Kapitel 12 Funktionalanalysis
1. Begriff der Funktionalanalysis
Die Funktionalanalysis entstand, als man erkannte, daß viele Probleme aus
verschiedenen Disziplinen, z.B. aus den Natur- und Technikwissenschaften und aus der
Ökonomie, gemeinsame Strukturen aufweisen.
Man entdeckte allgemeingültige Prinzipien, die in enger Wechselwirkung mit der
mathematischen Analysis, der linearen Algebra, der Geometrie sowie anderer Gebiete der
Mathematik entstanden und entwickelte eine einheitliche Begriffswelt.
2. Unendlichdimensionale Räume
Viele Probleme, deren mathematische Formulierung auf unendliche Gleichungs- und
Ungleichungssysteme, Differential- oder Integralgleichungen, Approximations-,
Variations- und Optimierungsprobleme u.a. führt, sprengen den viel zu engen Rahmen des
endlichdimensionalen Raumes und verlangen als natürliche Grundlage einen
unendlichdimensionalen Raum, in dem sie im allgemeinen mit Hilfe einer Operatorenbeziehung
formuliert, untersucht und gelöst werden können.
3. Lineare und nichtlineare Operatoren
Waren es am Anfang der Formierung der Funktionalanalysis - etwa in der ersten Hälfte
dieses Jahrhunderts - vorwiegend lineare oder linearisierte Probleme, die die Entwicklung
einer Theorie linearer Operatoren motivierten, so bestimmen in den letzten Jahrzehnten,
hauptsächlich aus den Erfordernissen praktischer Anwendungen der Funktionalanalysis
resultierend, auch immer mehr nichtlineare Phänomene und ihr Zusammenspiel mit den gut
entwickelten linearen Methoden das aktuelle Bild der Funktionalanalysis, was zur
Herausbildung der Theorie nichtlinearer Operatoren führte.
Charakteristisch ist eine zunehmende Orientierung auf Anwendungen bei der Lösung von
Differentialgleichungen, bei den numerischen Methoden, in der Optimierung usw., wodurch
Denkweisen und Methoden der Funktionalanalysis für Ingenieure und andere Anwender
unverzichtbar werden.
4. Grundstrukturen:
Im vorliegenden Kapitel können nur die Grundstrukturen umrissen werden:
die gebräuchlichsten Typen von Räumen und einige Klassen von Operatoren in diesen
Räumen.
Die abstrakte Begriffswelt wird an einigen Beispielen erläutert, die auch in anderen
Kapiteln, teilweise eigenständig, erörtert worden sind, deren Lösbarkeit oder
Eindeutigkeit der Lösung dort aber nur postuliert oder im Einzelfalle speziell gezeigt
werden konnte.
Es wird ersichtlich, daß die Funktionalanalysis für derartige und weitere
Fragestellungen aus ihrem abstrakten Verständnis heraus eine ganze Reihe von allgemeinen
Zusammenhängen in der Form mathematischer Sätze zur Verfügung stellt, die den
Anwender in die Lage versetzen, die Lösung konkreter Probleme in Angriff zu nehmen.
