In der Lösungstheorie nichtlinearer Operatorengleichungen zieht man im
wesentlichen Methoden heran, die auf den folgenden Prinzipien beruhen.
1. Prinzip der kontrahierenden Abbildung, Banachscher Fixpunktsatz
(s. Fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
und Anwendungen des Kontraktionsprinzips.
Zu weiteren Modifizierungen und Varianten dieses Prinzips
s. Lit. 12.9, 12.12, 12.15,
12.21.
2. Verallgemeinerung des Newton-Verfahrensauf
den unendlichdimensionalen Fall
(s. auch Verfahren für unrestringierte Aufgaben).
3. Schaudersches Fixpunktprinzip
4. Leray-Schauder-Theorie
Mit Methoden, die auf den Prinzipien 1 und 2 basieren, ergeben sich
umfassende Informationen über die Lösung, wie Existenz, Eindeutigkeit,
Konstruktivität u.a., während die Untersuchungsmethoden, die auf den Prinzipien
3 und 4 basieren, im allgemeinen ,,nur`` die qualitative Aussage
der Existenz einer Lösung gestatten.
Bei zusätzlichen Eigenschaften des Operators s. jedoch
Positive lineare Operatoren und
Monotone Operatoren in BANACH-Räumen.
