Kompakte Teilmengen in normierten Räumen

Kompakte Teilmengen in normierten Räumen

Eine Teilmenge

eines normierten Raumes

heißt

kompakt , wenn jede Folge von Elementen aus eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert in liegt,
relativkompakt oder präkompakt , wenn ihre Abschließung kompakt ist, d.h., jede Folge von Elementen aus enthält eine (nicht unbedingt zu einem Element aus ) konvergente Teilfolge.

Dabei genügt es für die eingeführten Begriffe,

als metrischen (oder noch allgemeineren) Raum vorauszusetzen. Diese Allgemeinheit wird im weiteren aber nicht erforderlich sein.

In der Analysis ist dies gerade der Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS, weshalb man sagt, eine solche Menge besitze die BOLZANO-WEIERSTRASS-Eigenschaft .
Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Umgekehrt, ist der Raum endlichdimensional, dann ist jede solche Menge auch kompakt. Die abgeschlossene Einheitskugel im normierten Raum ist genau dann kompakt, wenn endlichdimensional ist. Zur Charakterisierung von relativkompakten Mengen in metrischen Räumen (Satz von HAUSDORFF über die Existenz eines endlichen -Netzes) sowie in den Räumen (Satz von ARZELA-ASCOLI) und s. Lit. 12.18.