Begriff des metrischen Raumes

Begriff des metrischen Raumes

Auf einer Menge

sei jedem Paar von Elementen

eine reelle Zahl

zugeordnet, so daß für beliebige Elemente

die folgenden Eigenschaften, die Axiome des metrischen Raums , erfüllt sind:

(12.39)

(12.40)

(12.41)

Eine Funktion

mit den Eigenschaften

bis

heißt Metrik , Distanz oder Abstand auf der Menge

, und das Paar

heißt metrischer Raum. Jede Teilmenge

eines metrischen Raumes

kann auf natürliche Weise in einen (selbständigen) metrischen Raum verwandelt werden, indem man die Metrik

des Raumes

auf die Menge

einschränkt, d.h. nur auf der Menge

betrachtet. Der Raum

heißt Teilraum des metrischen Raumes

Beispiel A

Die Mengen und , versehen mit der euklidischen Metrik

(12.42)

für zwei Punkte

, sind metrische Räume.

Beispiel B

Hat man in der Menge für einen Wert (d.h. Vektor) einen Näherungswert, etwa den Vektor , dann ist die Größe oder Abweichung von Interesse. Diesen Sachverhalt berücksichtigt die Metrik

(12.43)

Die Metriken (12.42) und (12.43) ergeben für den Fall

jeweils den Absolutbetrag

in den Mengen

und

der reellen bzw. der komplexen Zahlen.

Beispiel C

Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter . Zählt man die Stellen, an denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge ) unterscheiden, also , , dann entsteht in der Menge aller Wörter der Länge eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B.

Beispiel D

In der Menge und ihren Teilmengen und (s. (12.11)) definiert man eine Metrik durch

(12.44)

Beispiel E

In der Menge der Folgen mit absolut konvergenter Reihe betrachtet man die folgende Metrik:

(12.45)

Beispiel F

In der Menge betrachtet man die Metrik

(12.46)

Beispiel G
	In der Menge definiert man als Metrik:

(12.47)

Beispiel H
	In der Menge aller Äquivalenzklassen von fast überall auf einem beschränkten Gebiet definierten LEBESGUE-meßbaren, zur -ten Potenz summierbaren Funktionen (s. LEBESGUE-Integral) ist eine Metrik definiert durch

(12.48)

Beispiel A
	Die Mengen und , versehen mit der euklidischen Metrik

Beispiel B
	Hat man in der Menge für einen Wert (d.h. Vektor) einen Näherungswert, etwa den Vektor , dann ist die Größe oder Abweichung von Interesse. Diesen Sachverhalt berücksichtigt die Metrik

Beispiel C
	Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter . Zählt man die Stellen, an denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge ) unterscheiden, also , , dann entsteht in der Menge aller Wörter der Länge eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B.

Beispiel D
	In der Menge und ihren Teilmengen und (s. (12.11)) definiert man eine Metrik durch

Beispiel E
	In der Menge der Folgen mit absolut konvergenter Reihe betrachtet man die folgende Metrik: