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besitzt wenigstens einen (von
Null verschiedenen) Eigenwert.
Genauer, 
hat immer einen Eigenwert 
mit 
.
hat die Darstellung 
,
wobei 
die
verschiedenen Eigenwerte von
und 
den Projektor auf den Eigenraum
bezeichnen.
Man sagt in diesem Zusammenhang auch, daß der Operator
diagonalisiert werden kann.
Daraus ergibt sich 
für jedes 
,
wobei
das orthonormierte System der Eigenvektoren von
ist.
Satz von Hilbert-Schmidt: Ist
ein kompakter selbstadjungierter Operator
im separablen HILBERT-Raum 
,
dann gibt es in 
eine Basis aus den
Eigenvektoren von 
Die sogenannten Spektral-(abbildungs-)sätze (s. Lit. 12.9, 12.11, 12.13, 12.15, 12.16, 12.21) kann man als die Verallgemeinerung des Satzes von HILBERT-SCHMIDT auf den nichtkompakten Fall selbstadjungierter (beschränkter oder unbeschränkter) Operatoren auffassen.
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