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wobei 
normierte Räume sind,
ordnet man jedem 
durch 
ein Funktional
zu.
Auf diese Weise entsteht ein linearer stetiger Operator
heißt und die folgenden Eigenschaften besitzt:
,
wobei für
die linearen stetigen Operatoren 
und
,
(
sind normierte Räume) der Operator
auf natürliche Weise durch 
definiert
ist.
Mit den in den Abschnitten Lineare Operatoren und Funktionale
und
Stetige lineare Funktionale im HILBERT-Raum eingeführten
Bezeichnungen bestehen für einen Operator 
die folgenden Identitäten:
die Abgeschlossenheit von 
impliziert.
Der Operator 
,
den man als 
aus 
gewinnt, hat die
Eigenschaft: Ist 
,
dann ist 
.
Der Operator 
ist also eine Erweiterung
von 
.
Im HILBERT-Raum 
kann auf Grund des RIESZschen Satzes der
adjungierte Operator mit Hilfe des Skalarprodukts 
eingeführt werden, wobei sich wegen der Identifizierung von
und 
neben
und 
sogar 
ergibt.
Ist
bijektiv, so ist es auch 
,
und es gilt 
.
Für die Resolventen von
und
gilt die Beziehung
ergibt.
| Beispiel A | |
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Sei | |
betrachtet wird.
Der zu
adjungierte Operator ist ebenfalls ein Integraloperator
,
wobei 
das gemäß (12.163) zu
existierende Element aus 
ist.
| Beispiel B | |
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Im endlichdimensionalen komplexen Raum ist der adjungierte zu einem durch die Matrix
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repräsentierten Operator gerade durch die Matrix 
mit
definiert.