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Newton-Verfahren

Seien wie im vorhergehenden Abschnitt und . Unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit von in jedem Punkt der Menge ist ein Operator definiert, der jedem das Element zuordnet. Der Operator sei auf stetig (in der Operatornorm); in diesem Falle sagt man, ist stetig differenzierbar auf . Die Menge enthalte eine Lösung der Gleichung
(12.194)

Weiter sei vorausgesetzt, daß für der Operator stetig invertierbar ist, also in liegt. Für ein beliebiges Element vermutet man wegen (12.192), daß die Elemente und ,,nahe``  beieinander liegen und demzufolge die Lösung der linearen Gleichung, also (unter den gemachten Voraussetzungen)
(12.195)

das gesuchte Element approximiert. Auf diese Weise konstruiert man, ausgehend von , die sogenannte NEWTON sche Näherungsfolge
(12.196)

Die Begründung für das beschriebene Vorgehen wird durch eine Reihe von Sätzen, die sich im Allgemeinheitsgrad oder in der Anpassung an spezielle Situationen der gemachten Voraussetzungen unterscheiden, geliefert, von denen exemplarisch nur der folgende zitiert werden soll, aus dem die wesentlichen Eigenschaften und Vorteile des Verfahrens erkennbar werden:
Es gibt zu eine Kugel , so daß alle in liegen und die NEWTONsche Folge zur Lösung von (12.194) konvergiert. Darüber hinaus gilt .

Das modifizierte NEWTON-Verfahren erhält man, wenn man in der Formel (12.196) stets den Operator anstelle von benutzt. Für weitere Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit, und zur (im allgemeinen sensiblen) Abhängigkeit des Verfahrens vom Startpunkt s. Lit. 12.7, 12.13, 12.15, 12.21.