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Normierte Algebren

Ein Vektorraum über heißt eine Algebra , wenn zusätzlich zu den Operationen, die im Vektorraum erklärt sind und den Axiomen bis (s. Vektorraumaxiome) genügen, für je zwei Elemente ihr Produkt oder in der vereinfachten Schreibweise, , erklärt ist, so daß für beliebige und die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(12.93)

(12.94)

(12.95)

(12.96)

Eine Algebra ist kommutativ , wenn stets gilt.
Ein linearer Operator der Algebra in die Algebra heißt Algebrenhomomorphismus , wenn für alle gilt:
(12.97)

Eine Algebra heißt normierte Algebra bzw. eine BANACH-Algebra , wenn sie ein normierter Vektorraum bzw. ein BANACH-Raum ist und die Norm die (zusätzliche) Eigenschaft
(12.98)

besitzt. In einer normierten Algebra sind alle Operationen stetig, d.h., außer (12.83) gilt für und auch noch (s. Lit. 12.23).

Jede normierte Algebra kann zu einer BANACH-Algebra vervollständigt werden, indem man das Produkt auf ihre Normvervollständigung unter Berücksichtigung von (12.98) fortsetzt.

Beispiel A

mit der Norm (12.87f) und der für stetige Funktionen üblichen (punktweisen) Multiplikation.

Beispiel B

Der Vektorraum aller in eine absolut konvergente FOURIER-Reihe zerlegbaren komplexen auf stetigen Funktionen , d.h.

(12.99)

mit der Norm und der gewöhnlichen Multiplikation.

Beispiel C

Der Raum aller beschränkten linearen Operatoren auf dem normierten Raum mit der Operatorennorm und den üblichen algebraischen Operationen, wobei unter dem Produkt zweier Operatoren die Nacheinanderausführung, also der durch definierte Operator verstanden wird.

Beispiel D

Der Raum aller absolut summierbaren meßbaren Funktionen auf der reellen Achse (s. Maß und LEBESGUE-Integral) mit der Norm

(12.100)

wenn man für die Multiplikation von zwei Funktionen die Faltung verwendet.