Schaudersches Fixpunktprinzip
Sei 
ein nichtlinearer Operator, der auf einer Menge 
eines BANACH-Raumes
definiert ist und in
abbildet.
Die nichttriviale Frage nach der Existenz wenigstens einer Lösung der Gleichung
wird wie folgt beantwortet:
Ist 
und 
,
dann hat bekanntlich jede stetige Funktion, die
in
abbildet, einen Fixpunkt in 
.
Ist
ein beliebiger endlichdimensionaler normierter Raum (dim
),
dann gilt der BROUWERsche Fixpunktsatz.
Brouwerscher Fixpunktsatz:
Sei
eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines
endlichdimensionalen normierten Raumes.
Ist
ein stetiger Operator, der
in sich abbildet, dann hat
(wenigstens) einen
Fixpunkt in .
Im Falle eines beliebigen unendlichdimensionalen BANACH-Raumes erhält man die
Antwort über den SCHAUDERschen Fixpunktsatz.
Schauderscher Fixpunktsatz:
Sei
eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines
BANACH-Raumes.
Ist der Operator 
stetig und kompakt (also
vollstetig) und bildet
in sich ab, dann hat
(wenigstens) einen Fixpunkt in
.
Mit Hilfe dieses Satzes kann man beispielsweise zeigen, daß das Anfangswertproblem
(12.68) für 
immer noch eine lokale Lösung besitzt, wenn die rechte
Seite lediglich als stetig vorausgesetzt wird.
