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In Anwendungen, insbesondere in der Lösungstheorie nichtlinearer Randwertprobleme,
handelt es sich meistens um geordnete normierte (aus Funktionen bestehende) Räume und
nicht selten um positive, d.h. den betreffenden Kegel invariant lassende, oder
isoton wachsende Operatoren, d.h. solche 
,
für die
gilt.
Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, nennt man solche Operatoren auch monoton
(s. etwa Abschnitt Monotone Operatoren in BANACH-Räumen).
Seien jetzt 
ein geordneter BANACH-Raum mit
abgeschlossenem Kegel 
und 
ein Ordnungsintervall aus 
.
Ist
normal und gilt 
für einen vollstetigen (nicht
notwendigerweise isotonen) Operator ,
dann besitzt 
wenigstens einen Fixpunkt in
(s. Abbildung).
Ein weiterer Vorteil der Betrachtungen in geordneten Räumen besteht darin, daß
für einen isoton wachsenden Operator ,
der auf einem 
-Interval
des
Raumes 
definiert ist und (lediglich) die Eckpunkte 
in
abbildet, also
den beiden Bedingungen 
und 
genügt, automatisch
gilt.
Darüber hinaus sind die beiden durch
)) Folgen monoton wachsend
bzw. fallend, d.h. 
und
.
Ein Fixpunkt 
bzw. 
des Operators
heißt minimal bzw.
maximal , wenn für jeden Fixpunkt 
von
die Ungleichung 
bzw.
gilt.
ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel
und
ein stetiger isoton wachsender
Operator.
Sei 
mit 
und 
.
Dann gilt 
,
und der Operator
besitzt einen Fixpunkt in
,
wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
ist normal und
kompakt.
ist regulär.
und
konvergieren dann zum minimalen bzw. maximalen Fixpunkt von
in
.
Das Konzept der Ober- und Unterlösungen basiert auf diesen Resultaten (s. Lit. 12.17, 12.13, 12.14).
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