Beschreibung der Schwingungen einer runden, am Rande eingespannten Membran.
Die Differentialgleichung ist linear, partiell und vom hyperbolischen Typ.
Sie hat in kartesischen Koordinaten bzw. in Polarkoordinaten die Form
 |
(9.92a) |
 |
(9.92b) |
Die Anfangs- und Randbedingungen lauten
 |
(9.92c) |
 |
(9.92d) |
 |
(9.92e) |
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung
verwendet.
Einsetzen des Produktansatzes für die drei Variablen
 |
(9.92f) |
in die Differentialgleichung in Polarkoordinaten liefert
 |
(9.92g) |
Daraus ergeben sich in Analogie zu den vorangegangenen Beispielen
Saitenschwingungsgleichung und
Stabschwingungsgleichung die folgenden Differentialgleichungen:
 |
(9.92h) |
 |
(9.92i) |
bzw.
 |
(9.92j) |
Aus den Bedingungen 
folgt
 |
(9.92k) |
Aus 
und 
werden 
und
bestimmt.
Berücksichtigung der selbstverständlichen Bedingung der Beschränkung von 
für 
und Substitution von 
ergibt
 |
(9.92l) |
wobei 
die BESSELschen Funktionen sind mit
und 
.
Das Funktionensystem
 |
(9.92m) |
mit 
als 
-te positive Nullstelle der Funktion 
ist ein
vollständiges System aller Eigenfunktionen des selbstadjungierten Problems vom
STURM-LIOUVILLEschen Typ, die orthogonal mit dem
Gewicht 
sind.
Die Lösung der Aufgabe wird in der Gestalt der Doppelreihe
angesetzt.
Aus den Anfangsbedingungen folgt für 
 |
(9.92o) |
 |
(9.92p) |
woraus sich ergibt
 |
(9.92q) |
 |
(9.92r) |
Im Falle 
ist die im Zähler stehende 
durch eine 
zu ersetzen.
Zur Bestimmung der Koeffizienten 
und 
wird 
durch 
in den Formeln für 
und 
ersetzt
und mit 
multipliziert.
