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Besselsche Differentialgleichung
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(9.52a) |
Die Definierende Gleichung ist in diesem Falle
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(9.52b) |
Daraus folgt 
.
Einsetzen von
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(9.52c) |
in diese Gleichung liefert für den zu Null gesetzten Koeffizienten von 
die Bestimmungsgleichung
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(9.52d) |
Für 
erhält man 
.
Für die Werte 
von 
ergibt sich
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(9.52e) |
Bessel- oder Zylinderfunktionen:
Die für 
(
s. Gammafunktion) entstandene Reihe ist eine
partikuläre Lösung der BESSELschen Differentialgleichung
(9.52a) für ganzzahlige 
.
Sie definiert die BESSEL- oder Zylinderfunktion 
-ter Ordnung
1. Gattung
Die Kurvenbilder der Funktionen 
und 
zeigt die folgende Abbildung.
Die allgemeine Lösung der BESSELschen Differentialgleichung für nicht
ganzzahlige
hat die Form
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(9.53b) |
wobei 
eine Reihe darstellt, die aus der Reihe für 
durch Ersetzen
von
durch 
folgt.
Für ganzzahliges
gilt 
.
In der allgemeinen Lösung ist in diesem Falle
durch die
BESSELsche Funktion 2. Gattung
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(9.53c) |
auch WEBERsche Funktion genannt, zu ersetzen.
Zur Reihenentwicklung von 
s. z.B. Lit. 9.26.
Die Kurvenbilder der Funktionen 
und 
zeigt die folgende Abbildung.
Bessel-Funktionen mit imaginären Variablen:
In manchen Anwendungen treten BESSEL-Funktionen mit einer rein imaginären
Variablen auf.
Dabei werden gewöhnlich die Produkte 
betrachtet, die mit
bezeichnet werden:
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(9.54a) |
Hierbei handelt es sich um Lösungen der Differentialgleichung
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(9.54b) |
Eine zweite Lösung dieser Differentialgleichung ist die
MACDONALDsche Funktion
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(9.54c) |
Wenn
gegen eine ganze Zahl konvergiert, strebt dieser Ausdruck einem Grenzwert zu.
Die Funktionen
und 
werden auch
modifizierte BESSEL- Funktionen genannt.
Die Kurvenbilder der Funktionen 
und 
zeigt die folgende linke Abbildung,
die der Funktionen 
und 
die rechte Abbildung.
Werte der Funktionen
enthalten die Tabellen
BESSELsche Funktionen (Zylinderfunktionen).
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(9.55a) |
Die gleichen Formeln gelten auch für die WEBER-Funktionen
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(9.55b) |
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(9.55c) |
Für ganzzahliges
gilt
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(9.55d) |
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(9.55e) |
oder, in komplexer Form,
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(9.55f) |
Die 
können durch elementare Funktionen ausgedrückt werden.
Insbesondere gilt
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(9.56a) |
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(9.56b) |
Durch sukzessive Anwendung der Rekursionsformeln (9.55a) bis
(9.55f) können die Ausdrücke für
für
beliebige ganzzahlige
aufgeschrieben werden.
Für große Werte von 
ergeben sich die folgenden asymptotischen Formeln:
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(9.57a) |
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(9.57b) |
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(9.57c) |
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(9.57d) |
Der Ausdruck 
(s. LANDAU-Symbole)
bedeutet eine infinitesimale Größe der gleichen Ordnung wie 
.
Weitere Angaben über BESSEL-Funktionen s. Lit. 21.1.
