Beispiel Stabschwingungsgleichung
Stabschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
vom hyperbolischen Typ genannt, mit deren Hilfe die longitudinalen Schwingungen eines
Stabes beschrieben werden, dessen eines Ende frei ist und auf dessen zweites,
eingespanntes Ende im Anfangszeitpunkt eine konstante Kraft 
wirkt.
Zu lösen ist die gleiche Differentialgleichung wie im Beispiel
Saitenschwingungsgleichung, d.h.
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(9.91a) |
mit den gleichen Anfangs-, aber nunmehr inhomogenen Randbedingungen:
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(9.91b) |
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(9.91c) |
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(9.91d) |
Diese Bedingungen können durch die homogenen Bedingungen
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(9.91e) |
ersetzt werden, indem für 
die neue unbekannte Funktion
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(9.91f) |
eingeführt wird.
Allerdings wird dann die Differentialgleichung inhomogen:
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(9.91g) |
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung
verwendet.
Die Lösung wird in Form der Summe 
gesucht.
Dabei genügt 
der homogenen Differentialgleichung sowie den Rand- und
Anfangsbedingungen für 
,
d.h.
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(9.91h) |
während 
der inhomogenen Differentialgleichung genügt und die verschwindenden
Anfangs- und Randbedingungen erfüllt.
Daraus ergibt sich 
.
Eingehen in die Differentialgleichung mit dem Produktansatz
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(9.91i) |
ergibt wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung für die
separierten Variablen:
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(9.91j) |
Integration der Differentialgleichung für 
und Einsetzen der Randbedingungen
liefert die Eigenfunktionen
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(9.91k) |
sowie die dazugehörigen Eigenwerte
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(9.91l) |
Durch das gleiche Vorgehen wie in Beispiel
Saitenschwingungsgleichung erhält man schließlich
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(9.91m) |
wobei 
und 
die Koeffizienten der
FOURIER-Reihenentwicklung für die Funktionen
und 
im Intervall
sind.
