Raum linearer stetiger Operatoren
Für zwei lineare (stetige) Operatoren 
sind die Summe 
und das Vielfache 
punktweise erklärt:
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(12.134) |
Die Menge 
,
häufig auch mit 
bezeichnet, aller linearen stetigen
Operatoren 
aus 
in 
wird so ein Vektorraum, auf dem sich 
(12.129) als Norm erweist.
Dadurch wird 
ein normierter Raum und, falls
ein BANACH-Raum ist,
sogar ein BANACH-Raum.
Insbesondere sind also die Axiome 
bis 
und
bis 
erfüllt.
Ist 
,
dann kann man für zwei beliebige Elemente 
durch
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(12.135) |
das Produkt definieren, das den Axiomen 
bis 
aus
normierte Algebren sowie der Verträglichkeitsbedingung
(12.98) mit der Norm genügt und so 
zu einer
(im allgemeinen nichtkommutativen) normierten und, falls
BANACH-Raum ist, zu
einer BANACH-Algebra macht.
Damit sind für jeden Operator 
die Potenzen
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(12.136) |
definiert, wobei 
der identische Operator 
ist.
Es gilt
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(12.137) |
und außerdem existiert stets der (endliche) Grenzwert
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(12.138) |
der Spektralradius des Operators
heißt und den Beziehungen
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(12.139) |
genügt, wobei 
der zu
adjungierte Operator ist
(s. auch (12.173)).
Im Falle der Vollständigkeit von
hat der Operator 
für
die Darstellung in Form der
NEUMANNschen Reihe
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(12.140) |
die für
in der Operatornorm von
konvergiert.
(S. auch Konvergenz der NEUMANNschen Reihe).
