Axiome des normierten Raumes
Sei 
ein Vektorraum über dem Körper 
Eine Funktion 
heißt
Norm auf dem Vektorraum
und das Paar 
normierter Raum über dem Körper 
wenn für beliebige Elemente
und beliebiges 
die folgenden Eigenschaften, die
Axiome des normierten Raumes , erfüllt sind:
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(12.76) |
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(12.77) |
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(12.78) |
Mit Hilfe der Festlegung
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(12.79) |
kann jeder normierte Raum in einen metrischen so umgewandelt werden, daß die Metrik
(12.79) zusätzlich noch die mit der Struktur des Vektorraums verträglichen
Eigenschaften
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(12.80a) |
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(12.80b) |
besitzt. Somit stehen in einem normierten Raum sowohl die Eigenschaften
eines Vektorraums als auch die eines metrischen Raumes - durch
(12.80a) und (12.80b) verträglich aufeinander abgestimmt
- zur Verfügung.
Daraus ergeben sich einerseits, daß man die meisten lokalen auf einen Punkt bezogenen
Untersuchungen mit den Einheitskugeln
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(12.81) |
vornehmen kann, da sich
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(12.82) |
ergibt und andererseits die Stetigkeit der Operationen des zugrunde liegenden
Vektorraumes, d.h., aus
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(12.83) |
Für konvergente Folgen schreibt man anstelle von (12.51)
in normierten Räumen
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(12.84) |
