Beispiele für Vektorräume von Folgen

Beispiele für Vektorräume von Folgen

Beispiel A: Vektorraum Kⁿ
	Seien eine fixierte natürliche Zahl und die Menge aller -Tupel, d.h. aller endlichen aus Gliedern bestehenden Folgen von Skalaren . Die Operationen seien komponenten- oder gliedweise erklärt, d.h., sind und zwei beliebige Elemente aus und ein beliebiger Skalar, d.h. , dann setzt man

(12.10a)

(12.10b)

Auf diese Weise erhält man den Vektorraum

, insbesondere also für

die linearen Räume

oder

.
Dieses Beispiel kann in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden (s. Beispiele B und C):

Beispiel B: Vektorraum aller Zahlenfolgen

Nimmt man als Elemente jetzt unendliche Folgen und behält die gliedweise erklärten Operationen gemäß (12.10a) und (12.10b) bei, so erhält man den Vektorraum aller Zahlenfolgen.

Beispiel C: Vektorraum aller finiten Zahlenfolgen

Es sei die Menge aller Elemente aus , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen. Die Anzahl der von Null verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig. Der so entstehende - wieder mit den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit oder auch mit bezeichnet und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.

Beispiel D: Vektorraum aller beschränkten Zahlenfolgen

Eine Folge gehört zu genau dann, wenn mit . Man trifft häufig auch die Bezeichnung für diesen Vektorraum.

Beispiel E: Vektorraum aller konvergenten Folgen

Es gilt genau dann, wenn es eine solche Zahl gibt mit der Eigenschaft, daß für ein Index existiert, so daß für alle gilt (s. Grenzwerte von Zahlenfolgen).

Beispiel F: Vektorraum aller Nullfolgen

Raum aller Nullfolgen, d.h. der Teilraum von , der aus allen zu Null () konvergenten Folgen besteht.

Beispiel G: Vektorraum l^p

Raum aller Folgen , für die die Reihe konvergiert. Daß die Summe zweier Folgen aus wieder eine Folge aus ist, d.h. eine konvergente Reihe aus den -ten Potenzen der Absolutbeträge ihrer Glieder besitzt, folgt aus der MINKOWSKIschen Ungleichung.

Hinweis: Für die in den Beispielen A bis G eingeführten Vektorräume von Folgen gelten die folgenden Inklusionen:

(12.11)

Beispiel B: Vektorraum aller Zahlenfolgen
	Nimmt man als Elemente jetzt unendliche Folgen und behält die gliedweise erklärten Operationen gemäß (12.10a) und (12.10b) bei, so erhält man den Vektorraum aller Zahlenfolgen.

Beispiel C: Vektorraum aller finiten Zahlenfolgen
	Es sei die Menge aller Elemente aus , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen. Die Anzahl der von Null verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig. Der so entstehende - wieder mit den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit oder auch mit bezeichnet und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.

Beispiel D: Vektorraum aller beschränkten Zahlenfolgen
	Eine Folge gehört zu genau dann, wenn mit . Man trifft häufig auch die Bezeichnung für diesen Vektorraum.

Beispiel E: Vektorraum aller konvergenten Folgen
	Es gilt genau dann, wenn es eine solche Zahl gibt mit der Eigenschaft, daß für ein Index existiert, so daß für alle gilt (s. Grenzwerte von Zahlenfolgen).

Beispiel F: Vektorraum aller Nullfolgen
	Raum aller Nullfolgen, d.h. der Teilraum von , der aus allen zu Null () konvergenten Folgen besteht.