Abgeschlossene Mengen

Abgeschlossene Mengen

Eine Teilmenge

eines metrischen Raumes

heißt abgeschlossen , wenn

eine offene Menge ist. Jede abgeschlossene Kugel in einem metrischen Raum, insbesondere jedes Intervall der Typen

, ist eine abgeschlossene Menge.
Dual zu den Axiomen der offenen Mengen erfüllt die Gesamtheit aller abgeschlossenen Mengen eines metrischen Raumes folgende Eigenschaften:

Sind für abgeschlossen, dann ist auch die Menge abgeschlossen.
Sind beliebig endlich viele abgeschlossene Mengen, dann ist auch die Menge abgeschlossen.
Die leere Menge ist vereinbarungsgemäß abgeschlossen.

Die Mengen und sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Ein Punkt des metrischen Raumes heißt Berührungspunkt der Menge wenn für jede Umgebung

(12.53)

gilt. Besteht dieser Durchschnitt darüber hinaus jeweils nicht nur aus dem einen Punkt

, dann heißt

Häufungspunkt der Menge

. Ein Berührungspunkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.

Ein Häufungspunkt von muß somit nicht unbedingt zur Menge gehören muß, z.B. der Punkt im Verhältnis zur Menge , während ein isolierter Punkt notwendigerweise zur Menge gehören muß. Ein Punkt ist genau dann Berührungspunkt der Menge , wenn es eine Folge von Elementen aus gibt, die zu konvergiert, wobei im Falle eines isolierten Punktes gesetzt wird.