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Kugeln und Umgebungen

In einem metrischen Raum , dessen Elemente auch Punkte heißen, nennt man für eine reelle Zahl und einen fixierten Punkt die Mengen
(12.49)

(12.50)

offene bzw. abgeschlossene Kugel mit dem Radius und dem Zentrum . Im Vektorraum ergeben sich mit den Metriken (12.42) und (12.43) für und als Kugeln die in den folgenden zwei Abbildungen dargestellten Mengen.



Eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt Umgebung des Punktes , wenn mit einer ganzen offenen Kugel zu gehört, also es , so daß gilt. Eine Umgebung des Punktes bezeichnet man auch mit . Offenbar ist jede Kugel auch Umgebung ihres Zentrums; eine offene Kugel ist sogar Umgebung jedes ihrer Punkte. Man nennt einen Punkt inneren Punkt einer Menge wenn mit einer Umgebung zu gehört, also es existiert eine Umgebung von mit Schließlich heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen , wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind. Die (bisher nur so benannten) offenen Kugeln in jedem beliebigen metrischen Raum, insbesondere alle offenen Intervalle aus , sind die Prototypen offener Mengen. Die Gesamtheit aller offenen Mengen genügt den folgenden Axiomen der offenen Mengen :

Man nennt eine Teilmenge eines metrischen Raumes beschränkt , wenn für ein gewisses Element (das nicht unbedingt der Menge angehören muß) und eine gewisse Zahl die Menge in der Kugel liegt, wofür man auch schreibt.