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eines metrischen Raumes 
heißt überall dicht ,wenn
gilt, mit anderen Worten, jeder Punkt 
ist Berührungspunkt
der Menge 
.
Das bedeutet, für jedes
gibt es eine Folge 
von Elementen aus
mit 
.
| Beispiel | |
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Nach dem WEIERSTRASSschen Approximationssatz kann jede auf einem abgeschlossenem
und beschränktem Intervall | |
| Beispiel | |
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Weitere Beispiele für überall dichte Mengen im Raum | |
Ein metrischer Raum
heißt separabel, wenn in
eine abzählbare
überall dichte Teilmenge existiert.
Eine abzählbare überall dichte Teilmenge in 
ist zum Beispiel die Menge aller
Vektoren mit rationalen Komponenten.
Separabel ist auch der Raum 
,
eine abzählbare überall dichte
Teilmenge ist z.B. die Menge aller Elemente der Form
,
wobei 
rationale Zahlen und 
eine beliebige natürliche Zahl ist.
Der Raum 
ist nicht separabel.
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stetige Funktion beliebig genau in der Metrik des
Raumes 
,
also gleichmäßig, durch Polynome genähert werden.
Diesen Satz kann man nunmehr wie folgt formulieren:
Die Menge der Polynome auf 
sind die Mengen aller
rationalen Zahlen 
und aller irrationalen Zahlen.