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Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung

Für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe erhält man eine notwendige Bedingung auf folgende Weise: Zur Extremalen , die durch (10.12) charakterisiert ist, konstruiert man sogenannte Vergleichsfunktionen
(10.13)

mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion , die den speziellen Randbedingungen genügt. Mit wird ein reeller Parameter bezeichnet. Setzt man (10.13) in (10.11) ein, dann erhält man an Stelle des Funktionals die von abhängige Funktion
(10.14)

und die Forderung, daß das Funktional zu einem Extremum macht, geht in die Bedingung über, daß als Funktion von für einen Extremwert hat. Aus einer Variationsaufgabe wird dadurch eine Extremwertaufgabe, für die die notwendige Bedingung
(10.15)

gelten muß.
Unter der Voraussetzung, daß der Integrand als Funktion von drei unabhängigen Variablen entsprechend oft partiell differenzierbar ist, erhält man mit Hilfe seiner TAYLOR-Entwicklung
(10.16)

Die notwendige Bedingung (10.15) führt auf
(10.17)

und daraus folgt durch partielle Integration und Berücksichtigung der Randbedingungen für :
(10.18)

Aus Stetigkeitsgründen und da das Integral in (10.18) für jede der in Frage kommenden Funktionen verschwinden soll, muß
(10.19)

gelten. Die Gleichung (10.19) stellt eine notwendige Bedingung für die einfache Variationsaufgabe dar und heißt EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung . Die Differentialgleichung (10.19) kann man auch in der Form
(10.20)

schreiben. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, wenn ist.

Die EULERsche Differentialgleichung vereinfacht sich in folgenden Spezialfällen:
1. , d.h., und treten nicht auf. Dann erhält man an Stelle von (10.19)

(10.21a)

und
(10.21b)


2. , d.h., tritt nicht auf. Man betrachtet

 
  (10.22a)

und erhält wegen (10.19)
(10.22b)

d.h.
(10.22c)

als notwendige Bedingung für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe im Falle .

Beispiel A

Für die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte und in der -Ebene muß gelten:

(10.23a)

Aus (10.22b) folgt für
(10.23b)

also , d.h., die kürzeste Verbindungslinie ist die Gerade.

Beispiel B

Läßt man einen Kurvenbogen , der die Punkte und verbindet, um die -Achse rotieren, dann entsteht eine Mantelfläche mit dem Flächeninhalt

(10.24a)

Für welche Kurve ist der Flächeninhalt am kleinsten? Mit folgt aus (10.22c): oder mit . Diese Differentialgleichung läßt sich durch Trennung der Variablen lösen, und man erhält
(10.24b)

die Gleichung der sogenannten Kettenlinie.
Die Konstanten und sind mit Hilfe der Randbedingungen und zu bestimmen. Das erfordert die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems, für dessen Lösbarkeit weitere Untersuchungen notwendig sind.