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Legendresche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf den Fall reeller Veränderlicher und ganzzahliger Parameter
hat die LEGENDREsche Differentialgleichung die Gestalt
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(9.58a) |
Legendresche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art
LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art heißen die partikulären
Lösungen der LEGENDREschen Differentialgleichung für ganzzahlige 
,
die
sich über den Potenzreihenansatz 
ermitteln
lassen:
a) Definitionsgleichung:
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(9.58b) |
Dabei gilt 
.
b) Andere Darstellung:
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(9.58c) |
wobei mit 
die hypergeometrische Reihe bezeichnet wird.
Die ersten acht Polynome haben die folgende einfache Form:
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(9.58d) |
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(9.58e) |
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(9.58f) |
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(9.58g) |
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(9.58h) |
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(9.58i) |
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(9.58j) |
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(9.58k) |
Die Kurvenbilder von 
für Werte von 
bis 
sind in der folgenden
Abbildung dargestellt.
Zahlenwerte können leicht mit dem Taschenrechner berechnet bzw. in der
Tabelle ,, LEGENDREsche Polynome (Kugelfunktionen)``
nachgesehen werden.
Eigenschaften der Legendreschen Polynome 1. Art
a) Integraldarstellung:
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(9.59a) |
Das Vorzeichen kann in beiden Gleichungen beliebig genommen werden.
b) Rekursionsformel:
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(9.59b) |
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(9.59c) |
c) Orthogonalitätsrelation:
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(9.59d) |
Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.
d) Nullstellensatz: Alle 
Nullstellen von
sind reell und einfach
und liegen im Intervall 
.
e) Erzeugende Funktion: Die LEGENDREschen Polynome 1. Art können auch
als Reihenentwicklung der Funktion
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(9.59e) |
erzeugt werden.
Weitere Angaben über die LEGENDREschen Polynome 1. Art s. Lit. 21.1.
Eine zweite partikuläre, von
linear unabhängige Lösung 
erhält
man für 
durch die Potenzreihenentwicklung
Die für 
gültige Darstellung von
lautet:
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(9.60b) |
Man bezeichnet die Kugelfunktionen 1. und 2. Art auch als zugeordnete oder
assoziierte LEGENDREsche Funktionen
(s. auch Lösung der Polargleichung).
