Hypergeometrische Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung heißt die Gleichung
 |
(9.61a) |
in der die 
und 
Parameter sind.
Sie beinhaltet eine große Zahl wichtiger Spezialfälle.
a) Für 
und 
ergibt sich die LEGENDREsche Differentialgleichung.
b) Für 
oder
keine ganze negative Zahl ergibt sich
als partikuläre Lösung die hypergeometrische Reihe oder
hypergeometrische Funktion :
die für 
absolut konvergiert.
Die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe hängt für 
von der Zahl
ab.
Für 
konvergiert sie, falls 
ist, für 
divergiert
sie.
Für 
ergibt 
absolute Konvergenz, 
bedingte
Konvergenz und 
Divergenz.
c) Für 
oder ungleich einer ganzen negativen Zahl ergibt sich
als partikuläre Lösung die Funktion
 |
(9.61c) |
d) In einigen Fällen wird die hypergeometrische Reihe zu einer elementaren
Funktion, z.B.:
 |
(9.61d) |
 |
(9.61e) |
 |
(9.61f) |
 |
(9.61g) |
 |
(9.61h) |
