• 1. Fall
• 2. Fall
• Eulersche Differentialgleichung:

Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

1. Fall

(9.43a)

(9.43b)

(9.43c)

(9.43d)

(9.43e)

Beispiel A
	Für die Differentialgleichung ergeben sich die Polynome mit und mit , so daß eine partikuläre Lösung lautet .

Beispiel B
	Die Differentialgleichung führt auf die Gleichung . Aus ihrer Lösung erhält man eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Dabei ist der Imaginärteil von .

2. Fall

Eine partikuläre Lösung kann immer in der gleichen Form gefunden werden, d.h. als Ausdruck . ist ein mit multipliziertes Polynom -ten Grades, wenn eine -fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist. Geht man von einem Lösungsansatz mit unbestimmten Koeffizienten des Polynoms aus und fordert man, daß er der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung genügt, dann können die unbekannten Koeffizienten aus einem Satz linearer algebraischer Gleichungen bestimmt werden. Die Methode ist besonders in den Fällen für und oder für anwendbar. Hier wird eine Lösung der Form gesucht.

Beispiel

Die Wurzeln der zur Differentialgleichung gehörenden charakteristischen Gleichung sind . Da der Superpositionssatz gilt, können die partiellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für die einzelnen Summanden der rechten Seite der Reihe nach gesucht werden. Für den ersten Summanden liefert das Einsetzen des Ansatzes in die rechte Seite , woraus folgt: und . Für den zweiten Summanden liefert das gleiche Vorgehen . Die Koeffizientenbestimmung ergibt , also . Die allgemeine Lösung lautet folglich .

Eulersche Differentialgleichung:

(9.44a)

(9.44b)

Beispiel
	Die Differentialgleichung ist ein Spezialfall der EULERschen Differentialgleichung für . Sie kann mit Hilfe der Substitution in die in einem vorangegangen Beispiel untersuchte lineare Differentialgleichung übergeführt werden. Die allgemeine Lösung ergibt sich zu .