Bei verschiedenen Anwendungen, z.B. in der Schwingungslehre, ist es wichtig festzustellen,
ob eine beliebige Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten
Koeffizienten für
gegen Null strebt.
Das ist stets dann der Fall, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen
Gleichung negativ sind.
Die Gleichung
(9.42a)
hat nach dem Satz von HURWITZ genau dann nur Wurzeln mit negativem Realteil,
wenn bei durchweg positiven Koeffizienten
sämtliche Determinanten
(9.42b)
positiv sind.
Der Bau der Determinanten
läßt sich so beschreiben, daß in der
Hauptdiagonale die Koeffizienten
stehen
und daß in den Zeilen die Koeffizientenindizes von rechts nach links aufsteigende
Zahlen durchlaufen.
Koeffizienten mit Indizes unterhalb Null und oberhalb
werden durch Nullen
ersetzt.
Beispiel
Für ein kubisches Polynom haben die Determinanten gemäß (9.40b) die
folgende Gestalt: