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Linearer harmonischer Oszillator
Harmonische Schwingungen entstehen, wenn die rücktreibende Kraft im
Oszillator dem HOOKEschen Gesetz 
genügt.
Für Schwingungsfrequenz, Schwingungskreisfrequenz und potentielle Energie ergeben sich:
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(9.123a) |
 |
(9.123b) |
 |
(9.123c) |
Durch Einsetzen in (9.112a) erhält die
SCHRÖDINGER-Gleichung die Form:
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(9.124a) |
Mit Hilfe der Substitutionen
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(9.124b) |
 |
(9.124c) |
wobei 
ein Parameter und nicht die Wellenlänge ist, kann
(9.124a) in die einfachere Form der WEBERschen
Differentialgleichung
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(9.124d) |
überführt werden.
Für die WEBERsche Differentialgleichung erhält man mit Hilfe des Ansatzes
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(9.125a) |
eine Lösung.
Differentiation führt auf
 |
(9.125b) |
Einsetzen in die SCHRÖDINGER-Gleichung (9.124d) liefert
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(9.125c) |
Eine Lösung wird über den Reihenansatz
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(9.126a) |
bestimmt:
Einsetzen von (9.126a) in (9.125c) ergibt
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(9.126b) |
Durch Vergleich der Koeffizienten von 
erhält man die Rekursionsformel
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(9.126c) |
Die Koeffizienten 
für gerade Potenzen von 
werden auf 
zurückgeführt,
die Koeffizienten für ungerade Potenzen auf 
.
Damit sind
und
frei wählbar.
Physikalische Lösungen
Gesucht ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens in den
verschiedenen Zuständen.
Diese wird mit Hilfe einer physikalisch sinnvollen, d.h. normierbaren, für große
Werte von
gegen Null gehenden Eigenfunktion und quadratisch integrierbaren
Wellenfunktion 
beschrieben.
Die Exponentialfunktion 
im Ansatz (9.125a)
sorgt dafür, daß die Lösung 
für 
gegen Null
strebt, wenn die Funktion 
ein Polynom ist.
Daher müssen die Koeffizienten
in (9.126a), beginnend von
einem bestimmten 
an, für alle 
verschwinden:
.
Mit 
lautet die Rekursionsformel (9.126c) jetzt
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(9.127a) |
Für 
kann sie nur erfüllt werden, wenn
 |
(9.127b) |
gesetzt wird.
Somit verschwinden durch die angegebene Wahl von
die Koeffizienten
.
Damit auch die Koeffizienten 
verschwinden, muß
sein.
Für die spezielle Wahl 
erhält man die
HERMITEschen Polynome der 2. Definitionsgleichung.
Die ersten sechs lauten:
Die Lösung
für die Schwingungsquantenzahl
ergibt
sich zu
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(9.128a) |
wobei 
der Normierungsfaktor ist.
Man erhält ihn aus der Normierungsbedingung 
zu
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(9.128b) |
Für die Eigenwerte der Schwingungsenergie ergibt sich als
Quantisierungsbedingung aus der Bedingung für den Abbruch der Reihe mit
(9.124c)
 |
(9.128c) |
Das Spektrum der Energiezustände ist äquidistant.
Der Summand 
in der Klammer bedeutet, daß der quantenmechanische Oszillator im
Unterschied zum klassischen auch im tiefsten energetischen Zustand mit 
Energie
besitzt, die Nullpunktsschwingungsenergie .
Die folgende Abbildung zeigt eine graphische Darstellung des äquidistanten Spektrums der
Energiezustände, die zugehörigen Wellenfunktionen 
bis 
sowie die Funktion der potentiellen Energie (9.123c).
Die Punkte auf der Parabel der potentiellen Energie bezeichnen die Umkehrpunkte des
klassischen Oszillators, die als Amplitude
aus der Energie
berechnet werden.
Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall 
zu
finden, ist durch 
gegeben.
Sie ist auch außerhalb dieser Punkte von Null verschieden.
So liefert z.B. 
,
also 
,
gemäß
,
Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei
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(9.128d) |
Für den entsprechenden klassischen Oszillator ergibt sich
 |
(9.128e) |
Die quantenmechanische Verteilungsdichte nähert sich für große Werte der
Quantenzahl
in ihrem Mittelwert der klassischen.
