Wenn das Potential 
und die Wellenfunktion 
nicht von der Zeit abhängen,
d.h. 
,
,
dann genügt zur Beschreibung der Zustände die einfachere zeitunabhängige
SCHRÖDINGER-Gleichung.
Man kann sie aus der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung
(9.109a) mit dem Ansatz (9.110b) herleiten
und erhält
 |
(9.111a) |
In diesem ebenfalls nichtrelativistischen Fall ist
 |
(9.111b) |
die Energie des Teilchens.
Die Wellenfunktionen 
,
die diese Differentialgleichung erfüllen, sind ihre
Eigenfunktionen ; sie existieren nur für bestimmte Energieeigenwerte 
,
die sich für das betrachtete Problem aus seinen spezifischen Anfangs- und
Randbedingungen ergeben.
Die Gesamtheit der Eigenwerte bildet das Energiespektrum der Teilchen.
Wenn
eine monotone Funktion ist, die im Unendlichen verschwindet, dann bilden die
Eigenwerte ein diskretes Spektrum .
Ist das betrachtete Gebiet der gesamte Raum, dann kann als Randbedingung gefordert werden,
daß
im LEBESGUEschen Sinne
(s. auch Lit. 8.11) im gesamten Raum quadratisch integrabel sein muß.
Ist das Gebiet endlich, z.B. eine Kugel oder ein Zylinder, dann kann als erste
Randwertaufgabe z.B. 
für den Rand gefordert werden.
In dem speziellen Fall 
ergibt sich die HELMHOLTZsche
Differentialgleichung
 |
(9.112a) |
mit dem Eigenwert
 |
(9.112b) |
Als Randbedingung wird hier oft
am Rande gefordert.
In einem endlichen Gebiet stellt (9.112a) die mathematische Ausgangsgleichung
für akustische Schwingungen in gegebenen räumlichen Begrenzungen dar.
