Beispiel Telegraphengleichung
Telegraphengleichung nennt man die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
vom hyperbolischen Typ
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(9.96a) |
mit den Konstanten 
und 
,
die das Fließen des elektrischen
Stromes in Leitungen beschreibt.
Sie stellt eine Verallgemeinerung der Saitenschwingungsgleichung
dar.
Die unbekannte Funktion 
wird durch die Substitution 
ersetzt, so daß (9.96a) übergeht in
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(9.96b) |
Durch die Substitutionen der unabhängigen Variablen
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(9.96c) |
erhält man schließlich die Normalform
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(9.96d) |
der linearen partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ.
Dieser Differentialgleichung muß die RIEMANNsche Funktion
genügen und für 
sowie 
den Wert Eins annehmen.
Wenn in 
für 
die Gestalt
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(9.96e) |
gewählt wird, dann ist 
eine Lösung der Differentialgleichung
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(9.96f) |
mit der Anfangsbedingung 
.
Die Substitution 
überführt diese Differentialgleichung in die
BESSELsche Differentialgleichung nullter Ordnung
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(9.96g) |
so daß die Lösung lautet
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(9.96h) |
Eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.96a) mit den
Anfangsbedingungen
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(9.96i) |
kann erhalten werden, indem man den gefundenen Wert von 
in die RIEMANNsche
Formel einsetzt und zu den ursprünglichen Variablen zurückkehrt:
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(9.96j) |
