Diese Methode zeigt viel Ähnlichkeit mit der RIEMANNschen Methode zur Lösung des
CAUCHYschen Problems für hyperbolische Differentialgleichungen.
Bei der Lösung der Aufgabe, eine Funktion 
zu finden, die in einem vorgegebenen
Gebiet der linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung vom elliptischen Typ
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(9.97a) |
genügt und auf dem Rande dieses Gebiets vorgegebene Werte annimmt, wird als erster
Schritt die GREENsche Funktion 
für dieses Gebiet
bestimmt, wobei 
und 
als Parameter aufgefaßt werden.
Die GREENsche Funktion muß die folgenden Bedingungen erfüllen:
1. Die Funktion 
genügt im gegebenen Gebiet überall,
ausgenommen den Punkt 
der homogenen konjugierten
Differentialgleichung
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(9.97b) |
2. Die Funktion
ist von der Form
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(9.97c) |
mit
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(9.97d) |
wobei 
im Punkt
den Wert Eins hat und die Funktionen
und 
im gesamten Gebiet zusammen mit ihren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung
einschließlich stetig sein müssen.
3. Die Funktion
wird auf dem Rande des betrachteten Gebiets
gleich Null.
Der zweite Schritt ist die Lösung des Randwertproblems mit Hilfe der GREENschen
Funktion nach der Formel
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(9.97e) |
wobei 
das betrachtete Gebiet bedeutet, 
dessen Rand, auf dem die Funktion gegeben
ist, und 
die Ableitung nach der Richtung der Innennormalen des
Randes.
Die Bedingung 3 hängt von der Art der zu lösenden Aufgabe ab.
Wenn z.B. auf dem Rande des betrachteten Gebiets nicht die gesuchte Funktion selbst
gegeben ist, sondern ihre Ableitung nach der Randnormalen, dann muß in Bedingung 3
die Forderung
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(9.97f) |
auf dem Rande erhoben werden.
Mit 
und 
werden hierbei die Winkel bezeichnet, die die innere Normale des
Randes mit den Koordinatenachsen bildet.
Die Lösung lautet in diesem Falle
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(9.97g) |
