Zur Transformation der Differentialgleichung (9.79a) in die
Normalform der linearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung gibt es die
folgenden Möglichkeiten:
1. Transformation in die Normalform
Die Differentialgleichung (9.79a) kann durch die Einführung
neuer unabhängiger Veränderlicher
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(9.81a) |
in Übereinstimmung mit dem Vorzeichen der Diskriminante (9.79b)
auf eine der folgenden drei Normalformen gebracht werden:
Glieder, die keine partiellen Ableitungen 2. Ordnung der unbekannten Funktion
enthalten, sind durch Punkte angedeutet.
2. Transformation in die Normalform (9.81b) beim
hyperbolischen Typ
Wenn im hyperbolischen Fall zwei Charakteristikenscharen als Koordinatenlinienscharen
im neuen Koordinatensystem (9.81a) gewählt werden, d.h., wenn
für die Gleichungen der Charakteristikenscharen
mit
gesetzt wird, dann geht
(9.79a) über in
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(9.81e) |
Diese Form heißt ebenfalls
Normalform der Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ .
Von hier gelangt man zur Normalform (9.81b) mit Hilfe der
Substitution
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(9.81f) |
3. Transformation in die Normalform (9.81c) beim
parabolischen Typ
Für die Schar
wird die einzige in diesem Falle gegebene
Charakteristikenschar gewählt, wobei für 
eine beliebige Funktion von
und 
gewählt werden kann, die aber nicht von 
abhängen darf.
4. Transformation in die Normalform (9.81d) beim
elliptischen Typ
Wenn die Koeffizienten 
analytische Funktionen sind, dann definiert die Gleichung der
Charakteristiken im elliptischen Falle zwei konjugiert komplexe Scharen von Kurven
.
Wird 
gesetzt, dann geht
die Gleichung in die Normalform (9.81d) über.
