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Definitionen, Kriterium von Weierstrass

In Übereinstimmung mit der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge und einer Reihe konvergiert die Reihe (7.67) in einem gegebenen Gebiet, wenn für eine beliebige Zahl eine ganze Zahl derart angegeben werden kann, daß die Ungleichung für alle erfüllt ist. Für Funktionenreihen können dabei zwei Fälle unterschieden werden:
1. Gleichmäßig konvergente Reihe: Es kann eine derartige Zahl gefunden werden, die für alle -Werte im Konvergenzbereich der Reihe (7.67) gemeinsam gilt. Dann spricht man von einer gleichmäßig konvergenten Reihe in dem betrachteten Gebiet.
2. Ungleichmäßig konvergente Reihe: Es kann keine derartige Zahl gefunden werden, die für alle -Werte im Konvergenzgebiet gilt. Es gibt dann aber im Konvergenzbereich der Reihe wenigstens eine Zahl , für die die Ungleichung erfüllt ist, egal wie groß gewählt ist. Man spricht in diesem Falle von einer ungleichmäßig konvergenten Reihe .

Beispiel A

Die Reihe

(7.72a)

mit der Summe konvergiert für alle Werte von . Die Konvergenz ist hier für jedes beliebige endliche Gebiet von gleichmäßig, und es gilt für und unter Benutzung des Restgliedes nach der Formel von MACLAURIN für die Reihe die Ungleichung
(7.72b)

Da schneller als wächst, wird der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung für hinreichend großes , das unabhängig von ist, kleiner als . Für die gesamte Zahlengerade gibt es hier allerdings keine gleichmäßige Konvergenz: Wie groß man auch immer wählt, es wird sich stets eine Zahl derart finden lassen, daß größer ist als ein beliebiges vorgegebenes .

Beispiel B

Für alle -Werte im abgeschlossenen Intervall konvergiert die Reihe

(7.73a)

da in Übereinstimmung mit der Schlußfolgerung aus dem Kriterium von D'ALEMBERT gilt:
(7.73b)

Die Konvergenz ist aber ungleichmäßig, weil
(7.73c)

gilt und, wie groß auch immer gewählt wird, stets ein hinreichend kleines gefunden werden kann, für das beliebig nahe bei liegt, d.h. nicht kleiner als ist. Gleichmäßige Konvergenz liegt im Intervall aber mit der Einschränkung vor.
3. Kriterium von Weierstrass für die gleichmäßige Konvergenz: In einem gegebenen Gebiet konvergiert die Reihe
(7.74a)

gleichmäßig, wenn es eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern
(7.74b)

gibt, so daß für alle -Werte in diesem Gebiet die Ungleichung
(7.74c)

erfüllt werden kann. Man nennt dann (7.74b) eine Majorante zur Reihe (7.74a).