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Transformation rechtwinkliger Koordinaten


Parallelverschiebung:

Wenn die ursprünglichen Koordinaten sind, die neuen und die Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs im ursprünglichen Koordinatensystem, dann gilt
(3.380)



Drehung der Koordinatenachsen:

Wenn die Richtungskosinusse der neuen Achsen in Übereinstimmung mit den Angaben in der folgenden Tabelle und der Abbildung bezeichnet sind, dann gilt
 
 
(3.381a)

 
 
(3.381b)



Tabelle Bezeichnungen der Richtungskosinus bei Koordinatentransformation

In bezug auf die
alten Achsen		 Richtungskosinus
der neuen Achsen

Die Koeffizientenmatrix des Systems (3.381a), Drehungsmatrix genannt, und die Transformationsdeterminante ergeben sich zu
(3.381c)

(3.381d)


Eigenschaften der Transformationsdeterminante:

Die Transformationsdeterminante besitzt die folgenden Eigenschaften:
a) mit positivem Vorzeichen, wenn die Links- bzw. Rechtshändigkeit erhalten bleibt, mit negativem Vorzeichen, wenn sich die Händigkeit ändert.
b) Die Summe der Quadrate einer Zeile oder einer Spalte ist immer gleich eins.
c) Die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente zweier verschiedener Zeilen oder Spalten ist gleich Null (s. orthogonale Matrizen).
d) Jedes Element ergibt sich als Produkt aus und seiner Adjunkte (s. Determinanten).


Eulersche Winkel:

Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mit Hilfe von drei Winkeln, die EULER eingeführt hat, vollständig bestimmt werden.




a) Nutationswinkel wird der Winkel zwischen den positiven Richtungen der - und der -Achse genannt; er liegt in den Grenzen
b) Präzessionswinkel wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der -Achse und der Schnittgeraden zwischen der - und - Ebene genannt. Die positive Richtung von wird derart gewählt, daß die -Achse, die -Achse sowie ein Richtungstripel mit der gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen (s. affine Koordinaten). Die Messung von erfolgt von der -Achse aus in Richtung -Achse; die Grenzen sind
c) Drehungswinkel wird der Winkel zwischen der positiven -Richtung und der Schnittgeraden genannt; er liegt in den Grenzen
Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird
 
(3.382a)

dann gilt
    (3.382b)


Skalare Invariante:

Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante (s. auch Eigenschaften der Produkte von Vektoren).

Beispiel A

Die Komponenten eines Vektors sind keine skalaren Invarianten, da sie bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems unterschiedliche Werte annehmen.

Beispiel B

Die Länge des Vektors d.h. die Größe ist eine skalare Invariante.

Beispiel C

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante: