Eigenschaften der Produkte von Vektoren

Eigenschaften der Produkte von Vektoren

a) Das Skalarprodukt genügt dem Kommutativgesetz:

(3.272)

b) Das Vektorprodukt ändert beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen:

(3.273)

c) Die Multiplikation mit einem Skalar genügt dem Assoziativgesetz:

(3.274a)

(3.274b)

d) Das Assoziativgesetz gilt nicht für das doppelte Skalar-und Vektorprodukt:

(3.275a)

(3.275b)

e) Das Distributivgesetz gilt:

(3.276a)

(3.276b)

f) Orthogonalität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:

(3.277)

g) Kollinearität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:

(3.278)

h) Multiplikation gleicher Vektoren:

(3.279)

i) Multiplikationen von Linearkombinationen von Vektoren können auf die gleiche Art durchgeführt werden wie bei skalaren Polynomen, allerdings ist dabei zu beachten, daß bei der vektoriellen Multiplikation Faktorenvertauschungen, z.B. beim Zusammenziehen gleichnamiger Glieder, Vorzeichenänderungen zur Folge haben.

Beispiel A

Beispiel B

j) Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante.

Beispiel A

Die Komponenten eines Vektors sind keine skalaren Invarianten, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.

Beispiel B

Die Länge eines Vektors d.h. die Größe ist eine skalare Invariante, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.

Beispiel C

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, d.h. da .

Beispiel A
	Die Komponenten eines Vektors sind keine skalaren Invarianten, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.

Beispiel B
	Die Länge eines Vektors d.h. die Größe ist eine skalare Invariante, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.

Beispiel C
	Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, d.h. da .