Konvergenz der Neumannschen Reihe

Konvergenz der Neumannschen Reihe

Zur Ermittlung der Lösung

ist die Potenzreihe bezüglich

(11.12)

die NEUMANNsche Reihe, auf Konvergenz zu untersuchen. Sind die Funktionen

und

beschränkt, d.h., es gelte

(11.13a)

so bildet die Reihe

(11.13b)

eine Majorante für die Potenzreihe (11.12). Diese geometrische Reihe konvergiert für

(11.13c)

Die NEUMANNsche Reihe konvergiert also ebenfalls absolut und gleichmäßig für alle

, die (11.13c) erfüllen (s. auch Raum linearer stetiger Operatoren). Durch eine schärfere Abschätzung der Glieder der NEUMANNschen Reihe kann das Konvergenzintervall noch genauer angegeben werden. Danach konvergiert die NEUMANNsche Reihe für

(11.13d)

Diese Einschränkung an den Parameter

bedeutet nicht, daß für größere Werte von

generell keine Lösung existieren würde, sondern nur, daß die Lösung unter Umständen nicht durch die NEUMANNsche Reihe angegeben werden kann. Den Ausdruck

(11.14a)

bezeichnet man als Resolvente oder lösenden Kern der Integralgleichung. Die Resolvente ermöglicht eine Lösungsdarstellung durch

(11.14b)

Beispiel

Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art erhält man

und damit . Mit der Schranke (11.13c) konvergiert die Reihe sicher für , wobei ist. Die Resolvente ist jedoch eine geometrische Reihe, die sogar für konvergiert. Damit erhält man aus (11.14b)
.

Hinweis: Ist für ein konkretes die Bedingung (11.13d) nicht erfüllt, so kann ein stetiger Kern in zwei stetige Kerne zerlegt werden durch , wobei einen ausgearteten Kern darstellt und so klein ist, daß (11.13d) für diesen Kern erfüllt ist. Auf diese Weise läßt sich für alle , die keine Eigenwerte sind, eine exakte Lösungsmethode herleiten.

Beispiel
	Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art erhält man und damit . Mit der Schranke (11.13c) konvergiert die Reihe sicher für , wobei ist. Die Resolvente ist jedoch eine geometrische Reihe, die sogar für konvergiert. Damit erhält man aus (11.14b) .