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Ein Teilchen mit der Masse 
bewege sich kräftefrei in einem Quader mit
undurchlässigen Wänden der Kantenlänge 
,
so daß es sich
in einem Potentialkasten befindet, der in alle drei Raumrichtungen wegen seiner
Undurchlässigkeit unendlich hoch ist, d.h., die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
Teilchens und damit die Wellenfunktion 
verschwinden außerhalb des Kastens.
Die SCHRÖDINGER-Gleichung und die Randbedingungen lauten für dieses Problem
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(9.113a) |
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(9.113b) |
Mit dem Separationsansatz
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(9.114a) |
zur Variablentrennung ergibt sich nach Einsetzen in (9.113a)
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(9.114b) |
Jedes der drei Glieder auf der linken Seite hängt nur von einer unabhängigen
Variablen ab.
Ihre Summe kann für beliebige 
nur dann konstant gleich 
sein,
wenn jedes einzelne Glied für sich konstant ist.
In diesem Falle kann die partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche
Differentialgleichungen aufgespalten werden:
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(9.114c) |
Zwischen den Separationskonstanten
besteht der Zusammenhang
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(9.114d) |
womit folgt
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(9.114e) |
Lösungen
Lösungen der drei Gleichungen (9.114c) sind die Funktionen
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(9.115a) |
mit den Konstanten 
.
Damit erfüllt
die Randbedingungen
für 
und 
.
Um die Bedingung
auch für 
und
zu erfüllen, muß
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(9.115b) |
gelten, d.h., es müssen die Beziehungen
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(9.115c) |
erfüllt sein, in denen 
und 
ganze Zahlen sind.
Für die Gesamtenergie erhält man damit
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(9.115d) |
woraus folgt, daß Energieänderungen des Teilchens durch Austausch mit der
Umgebung nicht kontinuierlich, sondern lediglich in Quanten möglich sind.
Die Zahlen
und 
,
die zu den Eigenwerten
der Energie gehören, werden Quantenzahlen genannt.
Nach der Berechnung des Konstantenprodukts 
aus der
Normierungsbedingung
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(9.115e) |
ergeben sich die vollständigen Eigenfunktionen des durch die drei
Quantenzahlen charakterisierten Zustandes zu
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(9.115f) |
Die Eigenfunktionen verschwinden an den Wänden, weil eine der drei Sinusfunktionen
gleich Null ist.
Außer an den Wänden ist das immer dann der Fall, wenn die Beziehungen
erfüllt sind.
Somit gibt es 
bzw. 
bzw. 
Ebenen senkrecht zur 
- bzw. 
- bzw.
-Achse, in denen
verschwindet.
Diese Ebenen heißen Knotenebenen .
Spezialfall Würfel, Entartung
Im Spezialfalle des Würfels mit 
kann sich ein Teilchen gleichzeitig in
mehreren Zuständen befinden, die durch unterschiedliche linear unabhängige
Eigenfunktionen beschrieben werden und die gleiche Energie besitzen.
Das ist der Fall, wenn die Summe 
in verschiedenen
Zuständen den gleichen Wert hat.
Man spricht dann von entarteten Zuständen , und wenn es 
Zustände mit
gleicher Energie sind, von -facher Entartung .
Die Quantenzahlen
und
können alle ganzen Zahlen durchlaufen,
außer der Null.
Letzteres würde bedeuten, daß die Wellenfunktion identisch Null ist, d.h., das
Teilchen an keinem Ort innerhalb des Kastens existiert.
Somit muß die Teilchenenergie endlich bleiben, selbst wenn die Temperatur des
absoluten Nullpunktes erreicht ist.
Diese Nullpunktstranslationsenergie beträgt für den Quader
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(9.115h) |
