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Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall
Die Winkel zwischen zwei Ebenen, gegeben durch die zwei Gleichungen
und 
werden berechnet nach der Formel
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(3.405a) |
Sind die Ebenen durch die Vektorgleichungen 
und
gegeben, dann gilt:
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(3.405b) |
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und
Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)
Schnittpunkt dreier Ebenen
Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen, gegeben durch die drei Gleichungen
und 
werden
berechnet nach den Formeln
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(3.406a) |
mit
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(3.406b) |
Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, wenn 
ist.
Ist 
und wenigstens eine Unterdeterminante zweiter Ordnung 
dann sind die Ebenen einer Geraden parallel; sind alle Unterdeterminanten 
dann
gehen die Ebenen durch eine Gerade hindurch.
Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen
1. Parallelitätsbedingung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn gilt
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(3.407) |
2. Orthogonalitätsbedingung: Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn
gilt
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(3.408) |
Schnittpunkt von vier Ebenen
Die Koordinaten des Schnittpunktes von vier Ebenen, gegeben durch die vier Gleichungen
und
werden berechnet, indem zuerst der
Schnittpunkt dreier beliebiger Ebenen bestimmt wird.
In diesem Falle 
ist die vierte Gleichung eine Folge der übrigen drei
Gleichungen.
Vier Ebenen gehen dann und nur dann durch einen Punkt, wenn gilt:
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(3.409) |
Abstand zweier paralleler Ebenen
Wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist und die Gleichungen
der Ebenen gegeben sind durch die Gleichungen
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(3.410) |
dann beträgt der Abstand
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(3.411) |
