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Formeln für Produkte in affinen Koordinaten


Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:

Wenn die affinen Koordinaten zweier Vektoren und im System bekannt sind, so daß
(3.288)

gegeben sind, dann müssen zur Berechnung des skalaren Produkts
 
  (3.289)

oder des Vektorprodukts
(3.290a)

letzteres mit
(3.290b)

die paarweisen Produkte der Koordinatenvektoren bekannt sein. Für das skalare Produkt sind das die sechs metrischen Koeffizienten (Zahlen)
(3.291a)

(3.291b)

und für das Vektorprodukt die drei Vektoren
(3.292a)

genauer die drei reziproken Vektoren bezüglich wobei der Koeffizient
(3.292b)

der gleich dem gemischten Produkt der Koordinatenvektoren ist, lediglich einer kürzeren Schreibweise in weiteren Formeln dient. Mit Hilfe der folgenden Multiplikationstabellen für die Grundvektoren wird das Arbeiten mit den Koeffizienten übersichtlicher.

Skalare Multiplikation
von Grundvektoren

      Vektorielle Multiplikation
von Grundvektoren
 


Anwendung auf kartesische Koordinaten:

Die kartesischen Koordinaten sind ein Spezialfall der affinen Koordinaten. Aus den folgenden zwei Tabellen ergeben sich für
die Grundvektoren
(3.293a)


die metrischen Koeffizienten
(3.293b)


und die reziproken Grundvektoren
(3.293c)


Somit stimmen die reziproken Grundvektoren mit den Grundvektoren des Koordinatensystems überein, oder anders ausgedrückt, in kartesischen Koordinaten sind die Grundvektorensysteme zu sich selbst reziprok.
Skalare Multiplikation
von reziproken Grundvektoren		      Vektorielle Multiplikation
von reziproken Grundvektoren
 


Skalarprodukt in Koordinatendarstellung:

(3.294)

Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.285) über.
Nach dem zweiten Gleichheitszeichen wurde die in der Tensorrechnung übliche abkürzende Schreibweise für Summen verwendet: Anstelle der gesamten Summe wird nur ein typisches Glied hingeschrieben, so daß über alle doppelt auftretenden Indizes dieses Gliedes zu summieren ist, d.h. über alle einmal unten und einmal oben auftretenden Indizes. Manchmal werden die Summationsindizes mit griechischen Buchstaben bezeichnet; hier durchlaufen sie die Zahlen 1 bis 3. Es gilt also
 
    (3.295)


Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:

In Übereinstimmung mit (3.290a) gilt
(3.296)
  (3.297)

Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.286) über.


Spatprodukt in Koordinatendarstellung:

In Übereinstimmung mit (3.290a) ergibt sich
(3.298)

Für rechtwinklige kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.287) über.