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Ebenengleichungen
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Ebene, und umgekehrt ist die
Gleichung jeder Ebene vom ersten Grade.
Allgemeine Ebenengleichung
Die allgemeine Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.396a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.396b) |
wobei der Vektor 
senkrecht auf der Ebene steht. (In der Abbildung
sind die Achsenabschnitte der Ebene 
eingezeichnet.)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und
Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in
Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen)
Man spricht vom Normalenvektor der Ebene .
Seine Richtungskosinusse sind
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(3.396c) |
Wenn 
dann geht die Ebene durch den Koordinatenursprung, für 
bzw.
oder 
ist die Ebene parallel zur 
-Achse, bzw. zur 
- oder 
-Achse.
Wenn 
bzw. 
oder 
dann liegt die Ebene
parallel zur 
-Ebene, bzw. zur 
- oder 
-Ebene.
Die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.397a) |
b) in Vektorschreibweise
 |
(3.397b) |
wobei 
der Normaleneinheitsvektor der Ebene ist und 
der Abstand der
Ebene vom Koordinatenursprung.
Die HESSEsche Normalform geht aus der allgemeinen
Gleichung (3.396a) durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor
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(3.397c) |
hervor.
Dabei muß das Vorzeichen von 
entgegengesetzt zu dem von 
gewählt werden.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und
Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)
Achsenabschnittsform der Ebenengleichung
Mit den Strecken 
die unter Berücksichtigung des Vorzeichens von der
Ebene auf den Koordiantenachsen abgeschnitten werden, gilt:
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(3.398) |
Gleichung einer Ebene durch drei Punkte
Die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte
geht, lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.399a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.399b) |
(s. Spatprodukt dreier Vektoren).
Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden
Die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte
geht und parallel zu
einer Geraden mit dem Richtungsvektor 
liegt, lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.400a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.400b) |
(S. auch Spatprodukt dreier Vektoren.)
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt 
geht und
parallel zu zwei Geraden mit den Richtungsvektoren 
und 
verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.401a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.401b) |
(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt
geht und
senkrecht zu einer Geraden mit dem Richtungsvektor 
verläuft,
lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.402a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.402b) |
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und
Skalarprodukt in affinen Koordinaten.)
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Einsetzen der Koordinaten des Punktes 
in die HESSEsche Normalform der
Ebenengleichung (3.397a)
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(3.403a) |
liefert
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(3.403b) |
Wenn 
und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen,
ist 
im entgegengesetzten Falle ist 
Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen
Die Gleichung einer Ebene, die durch die Schnittlinie zweier Ebenen mit den Gleichungen
und 
verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise
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(3.404a) |
b) in Vektorschreibweise
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(3.404b) |
Dabei ist 
ein reeller Parameter, so daß durch die Gleichungen
(3.404a) und (3.404b) ein ganzes Ebenenbüschel beschrieben wird.
Die folgende Abbildung zeigt den Fall eines Ebenenbüschels mit drei Ebenen.
Wenn
in den Gleichungen (3.404a) oder (3.404b) die Werte
zwischen 
und 
durchläuft, erhält man alle Ebenen des Büschels.
Für 
erhält man die Gleichungen der Ebenen, die die Winkel zwischen
den beiden gegebenen Ebenen halbieren, wenn deren Gleichungen in der Normalform gegeben
sind.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und
Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise (s. Vektorielle Gleichungen.)
