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Ellipse


1. Elemente der Ellipse In der folgenden Abbildung sind die große Achse , die kleine Achse , die Scheitel , die Brennpunkte mit dem Abstand auf beiden Seiten des Mittelpunktes, die numerische Exzentrizität und der Halbparameter , d.h. die halbe Länge der durch einen Brennpunkt parallel zur kleinen Achse gezogenen Sehne.



2. Gleichung der Ellipse Die Ellipsengleichung lautet in der Normalform, d.h. für zusammenfallende Koordinaten- und Ellipsenachsen sowie in der Parameterform
(3.341a)

(3.341b)

Die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.
3. Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich ist. Jeder dieser Abstände, die auch Brennpunktradien eines Ellipsenpunktes genannt werden, berechnet sich als Funktion von der Abszissenkoordinate gemäß
(3.342)



In dieser und in den weiteren Formeln mit kartesischen Koordinaten wird angenommen, daß die Ellipse in der Normalform gegeben ist.
4. Leitlinien der Ellipse Leitlinien der Ellipse sind Geraden parallel zur kleinen Achse im Abstand



Jeder beliebige Ellipsenpunkt unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Ellipse
(3.343)

(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)
5. Durchmesser der Ellipse Durchmesser der Ellipse werden diejenigen Sehnen genannt, die durch den Ellipsenmittelpunkt gehen und von diesem halbiert werden.



Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Sehnen, die zu einem Ellipsendurchmesser parallel sind, ist wieder ein Durchmesser, ein konjugierter Durchmesser zum ersten. Für und als Richtungskoeffizienten zweier konjugierter Durchmesser gilt
(3.344)

Wenn und die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und sowie die spitzen Winkel zwischen den Durchmessern und der großen Achse, wobei und ist, dann gilt der Satz des APOLLONIUS in der Form
(3.345)


6. Tangente an die Ellipse Die Tangente an die Ellipse im Punkt beschreibt die Gleichung
(3.346)

Normale und Tangente an die Ellipse sind jeweils Winkelhalbierende des inneren Winkels und dessen Supplementwinkels zwischen den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt weisenden Radiusvektoren.



Die Gerade ist eine Tangente an die Ellipse, wenn die Gleichung
(3.347)

erfüllt ist.
7. Krümmungskreisradius der Ellipse Mit als Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor von einem der Brennpunkte zum Berührungspunkt gilt:
(3.348)

In den Scheiteln und sowie und (rechte Abbildung) ist und



8. Flächeninhalte der Ellipse



a) Ellipse:
(3.349a)


b) Ellipsensektor :
(3.349b)


c) Ellipsenabschnitt :
(3.349c)



9. Ellipsenbogen und Ellipsenumfang Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten der Ellipse läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung .
Den Umfang der Ellipse berechnet man daher mit Hilfe des vollständigen Integrals 2. Gattung
mit der numerischen Exzentrizität und (für ein Viertel des Umfanges) zu
(3.350a)

Setzt man , dann ist
(3.350b)

und in Näherung
(3.350c)

Beispiel

Für liefert diese Gleichung den Wert 7,93 für den Ellipsenboge, während die genauere Rechnung mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung den Wert 7,98 ergibt.