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Die FOURIER-Transformation ist eine Integraltransformation der Form
(15.1a), die aus dem FOURIER-Integral (15.64b) dadurch
entsteht, daß man
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(15.70) |
substituiert.
Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion 
und der im allgemeinen komplexen Bildfunktion 
:
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(15.71) |
In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen 
:
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(15.72) |
Die Originalfunktion
heißt FOURIER-transformierbar, wenn das Integral
(15.70), also ein uneigentliches Integral mit dem Parameter 
existiert.
Wenn das FOURIER-Integral nicht als gewöhnliches uneigentliches Integral
existiert, ist es als CAUCHYscher Hauptwert zu verstehen.
Die Bildfunktion
nennt man auch FOURIER-Transformierte ; sie
ist beschränkt, stetig und strebt für 
gegen Null:
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(15.73) |
Existenz und Beschränktheit von
folgen direkt aus der offensichtlich
gültigen Ungleichung
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(15.74) |
Für die Stetigkeit von
und die Eigenschaft 
für
ist die Existenz der FOURIER-Transformierten eine
hinreichende Bedingung.
Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt:
Wenn die Funktion
in 
absolut integrierbar ist, dann ist
ihre FOURIER-Transformierte eine stetige Funktion von 
,
und es gilt
(15.73).
Folgende Funktionen sind nicht FOURIER-transformierbar: konstante Funktionen,
beliebige periodische Funktionen (z.B. 
),
Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B. 
,
Hyperbelfunktionen).
