1. Rechts offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall
Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion 
,
die
ein rechts offenes Definitionsintervall 
oder ein abgeschlossenes
Definitionsintervall 
besitzt, aber im Punkt 
den Grenzwert
hat, lautet in beiden Fällen:
 |
(8.85) |
Wenn dieser Grenzwert existiert, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral
und man spricht von einem konvergenten uneigentlichen Integral .
Existiert der Grenzwert nicht, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral nicht,
und man spricht von einem divergenten uneigentlichen Integral .
2. Links offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall
Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion ,
die ein
links offenes Definitionsintervall 
oder ein abgeschlossenes Definitionsintervall
besitzt, aber im Punkt 
den Grenzwert
,
erfolgt in Analogie zur Definition (8.85):
 |
(8.86) |
3. Zwei halboffene angrenzende Definitionsintervalle
Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion ,
die im
gesamten Intervall
definiert ist, ausgenommen einen inneren Punkt 
mit
,
d.h., für eine Funktion ,
die in zwei angrenzenden halboffenen
Intervallen 
und 
definiert ist, aber im Punkt
nicht beschränkt ist,
lautet:
 |
(8.87a) |
Dabei streben die Zahlen 
und 
unabhängig voneinander gegen Null.
Wenn der Grenzwert (8.87a) nicht existiert, wohl aber
 |
(8.87b) |
dann heißt der Grenzwert (8.87b) der Hauptwert des uneigentlichen Integrals , auch CAUCHY scher Hauptwert .
