Anwendung des Residuensatzes

Anwendung des Residuensatzes

Mit Hilfe des Residuensatzes mit der Integrationsformel

(14.57a)

können eine Reihe bestimmter Integrale von Funktionen einer Veränderlichen berechnet werden. Wenn eine Funktion ist, die in der gesamten oberen Halbebene einschließlich der reellen Achse analytisch ist, ausgenommen die singulären Punkte , die oberhalb der reellen Achse liegen sollen (s. Abbildung),

und wenn die Null eine Wurzel der Gleichung

von der Vielfachheit

ist, dann gilt:

(14.57b)

Beispiel

Berechnung des Integrals .
Die Gleichung besitzt die sechsfache Wurzel . Die Funktion hat in der oberen Halbebene den einzigen singulären Punkt , der ein Pol mit der Vielfachheit ist, denn die Gleichung hat zwei dreifache Wurzeln bei und . Das Residuum berechnet sich gemäß (14.54b) zu
. Aus folgt , und mit (14.57b):
.
Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. Lit. 14.18.

Beispiel
	Berechnung des Integrals . Die Gleichung besitzt die sechsfache Wurzel . Die Funktion hat in der oberen Halbebene den einzigen singulären Punkt , der ein Pol mit der Vielfachheit ist, denn die Gleichung hat zwei dreifache Wurzeln bei und . Das Residuum berechnet sich gemäß (14.54b) zu . Aus folgt , und mit (14.57b): . Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. Lit. 14.18.