Fundamentalsatz der Algebra
Jede Gleichung 
-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe
Zahlen sind, besitzt
reelle oder komplexe Wurzeln, wobei die 
-fachen Wurzeln
-mal gezählt werden.
Wenn die Wurzeln von 
mit 
bezeichnet werden und
diese jeweils die Vielfachheiten 
besitzen, dann gilt
die Produktdarstellung
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(1.166a) |
Die Lösung einer Gleichung 
kann stets durch Zurückführen auf eine
Gleichung vereinfacht werden, die die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsgleichung hat,
aber jeweils nur noch mit der Vielfachheit 1.
Dazu wird das Polynom in zwei Faktoren derart zerlegt, daß
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(1.166b) |
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(1.166c) |
gilt.
Man kann 
als größten gemeinsamen Teiler der
Polynome
und dessen Ableitung 
bestimmen, da die mehrfachen Wurzeln
von
auch Wurzeln von
sind.
Das Polynom 
erhält man dann durch Division von
durch 
,
und
hat dieselben Nullstellen wie 
,
aber mit der Vielfachheit 
.
