Singuläre Punkte

Wenn eine Funktion

in der Umgebung eines Punktes

analytisch und beschränkt ist, d.h. im Innern eines beliebig kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt

, ausgenommen höchstens

selbst, dann sind hinsichtlich der Singularität die folgenden zwei Fälle möglich:
1. Es gilt

, d.h., die Funktion

ist auch im Punkt

analytisch.
2. Die Funktion

besitzt einen anderen Wert oder sie ist im Punkt

nicht definiert, d.h., der Punkt

ist singulär. Man spricht aber von hebbarer Singulärität , weil die Funktion

beim Einsetzen des Wertes

im Punkt

analytisch wird.
(S. auch die Analogie zur hebbaren Unstetigkeit einer Funktion einer reellen Veränderlichen).
Wenn die Funktion

in der Umgebung des Punktes

zwar analytisch, aber nicht beschränkt ist, dann handelt es sich um einen singulären Punkt

. Es können die folgenden zwei Fälle auftreten:
1. Gilt bei Annäherung von

an den Punkt

auf beliebigem Wege

, dann nennt man den Punkt

einen Pol und schreibt

. Über Pole verschiedener Ordnung s. Isolierte singuläre Stellen.
2. Wenn

bei Annäherung an einen Punkt

keinem Grenzwert zustrebt, sondern je nach der Wahl der Punkte

, von denen aus die Annäherung an

erfolgt, die Folgen

verschiedene Grenzwerte besitzen, dann spricht man von einem wesentlich singulären Punkt . In diesem Falle gibt es Möglichkeiten der Annäherung von

an den Punkt

, die zur Konvergenz von

gegen eine beliebig vorgegebene komplexe Zahl führen.

Beispiel A

Die Funktion besitzt im Punkt einen Pol.

Beispiel B

Die Funktion besitzt im Punkt einen wesentlich singulären Punkt (s. Abbildung).