Halbordnung

Halbordnung

Bereits am Beispiel des mit dem ersten Quadranten als Kegel

geordneten Vektorraumes

wird eine typische Erscheinung in geordneten Vektorräumen ersichtlich, auf die mit den Begriffen ,,Halbordnung`` oder ,,teilweise`` bereits hingewiesen wurde, nämlich, daß nicht beliebige zwei Vektoren vergleichbar sein müssen. Die aus den Vektoren

und

gebildeten Differenzen, also die Vektoren

und

, liegen nicht in

, so daß weder

noch

gilt. Die durch einen Kegel in einem Vektorraum eingeführte Ordnung ist also lediglich eine teilweise oder partielle. Es läßt sich zeigen, daß die Relation

die folgenden Eigenschaften besitzt:

(12.25)

(12.26)

(12.27)

(12.28)

Man nennt diese Gleichungen Axiome des geordneten Vektorraumes. Umgekehrt, ist ein Vektorraum

mit einer Ordnungsrelation versehen, d.h. für gewisse Paare seiner Elemente ist eine binäre Operation

erklärt, die den Axiomen

bis

genügt, dann setzt man

(12.29)

und kann zeigen, daß

ein Kegel ist. Die jetzt durch

einführbare Ordnung

ist identisch mit der vorhandenen Ordnung

; folglich sind die beiden aufgezeigten Möglichkeiten der Einführung einer Ordnung in einem Vektorraum äquivalent.
Ein Kegel

heißt erzeugend, wenn jedes Element

als

mit

dargestellt werden kann. Man schreibt dafür auch

Beispiel A
	Die Ordnung im Raum wird durch den Kegel

(12.30)

(s. Beispiel C) eingeführt. In den Folgenräumen, betrachtet man die natürliche koordinatenweise Ordnung. Sie ergibt sich mit Hilfe des Kegels, den man in einem solchen Raum als Durchschnitt von

(s. (12.30)) mit dem jeweiligen Raum erhält. Die positiven Elemente in diesen geordneten Vektorräumen sind dann jeweils die Folgen mit nichtnegativen Gliedern. Selbstverständlich können auch andere Kegel und damit auch von der natürlichen Halbordnung verschiedene Ordnungen in diesen Räumen betrachtet werden (s. Lit. 12.20, 12.22).

Beispiel B

In den reellen Funktionenräumen und erklärt man für zwei Funktionen und durch bzw. die natürliche Ordnung, in der gerade für eine auf überall nichtnegative Funktion steht. Die entsprechenden Kegel bezeichnet man üblicherweise wieder mit usw. Es ist also beispielsweise .

Beispiel B
	In den reellen Funktionenräumen und erklärt man für zwei Funktionen und durch bzw. die natürliche Ordnung, in der gerade für eine auf überall nichtnegative Funktion steht. Die entsprechenden Kegel bezeichnet man üblicherweise wieder mit usw. Es ist also beispielsweise .