Satz von Picard-Lindelöf
Es werde die Differentialgleichung
 |
(12.68) |
mit einer stetigen Abbildung 
betrachtet, wobei 
ein offenes Intervall aus 
und 
eine offene Teilmenge aus
sind.
Die Abbildung 
genüge bezüglich 
einer LIPSCHITZ-Bedingung,
d.h., es gibt eine positive Konstante 
mit
 |
(12.69) |
wobei 
die euklidische Metrik in
bezeichnet
(unter Verwendung der Norm, gilt die Beziehung (12.79)
.
Sei 
ein beliebiger Punkt.
Dann gibt es solche Zahlen 
und 
so, daß die Menge
in 
liegt.
Seien 
und
.
Dann existiert eine Zahl 
,
so daß für jedes 
mit
das Anfangswertproblem
 |
(12.70) |
genau eine (lokale) Lösung 
besitzt, d.h.
für
und 
.
Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist äquivalent zur Lösung der
Integralgleichung
 |
(12.71) |
Bezeichnet jetzt 
die abgeschlossene Kugel
des in der Metrik
 |
(12.72) |
vollständigen metrischen Raumes
,
dann ist
mit der
induzierten Metrik selbst ein vollständiger metrischer Raum.
Ist 
der durch
 |
(12.73) |
definierte Operator, dann ergibt sich die Lösung der Integralgleichung (12.71)
als eindeutiger Fixpunkt des Operators 
,
der sogar iterativ erzeugt werden kann.
