Lineare Unabhängigkeit

Lineare Unabhängigkeit

Eine endliche Teilmenge

eines Vektorraums

heißt linear unabhängig , wenn aus

(12.14)

folgt. Anderenfalls heißt sie linear abhängig . Hat man

und

beliebige Vektoren aus

, dann ist aufgrund der Vektorraumaxiome

trivialerweise das Nullelement von

. lineare Unabhängigkeit der Vektoren

bedeutet die Darstellung des Nullelements

ausschließlich nur mit

. Dieser wichtige Begriff der linearen Abhängigkeit ist aus der Linearen Algebra gut bekannt und diente bereits zur Definition eines Fundamentalsystems von Lösungen für homogene Differentialgleichungen. Eine unendliche Teilmenge

heißt linear unabhängig , wenn jede endliche Teilmenge von

linear unabhängig ist. Anderenfalls heißt

wieder linear abhängig .

Beispiel

Bezeichnet man mit die Folge, deren Glieder bis auf das -te alle gleich sind und das -te Glied gleich ist, dann liegt im Raum und demzufolge in jedem Folgenraum. Die Menge ist linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum ist z.B. das Funktionensystem

linear unabhängig, wohingegen die Funktionen linear abhängig sind (s. trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache).

Beispiel
	Bezeichnet man mit die Folge, deren Glieder bis auf das -te alle gleich sind und das -te Glied gleich ist, dann liegt im Raum und demzufolge in jedem Folgenraum. Die Menge ist linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum ist z.B. das Funktionensystem linear unabhängig, wohingegen die Funktionen linear abhängig sind (s. trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache).