Fundamentalsystem von Lösungen
Ein System von 
Lösungen 
einer homogenen linearen
Differentialgleichung wird Fundamentalsystem genannt, falls diese Funktionen in
dem betrachteten Intervall linear unabhängig sind, also ihre Linearkombination
für kein Wertesystem der 
,
ausgenommen für 
,
identisch verschwindet, d.h. für alle
-Werte in dem betreffenden Intervall.
Die Lösungen 
einer linearen homogenen Differentialgleichung
bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre WRONSKI-Determinante
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(9.34) |
von Null verschieden ist.
Für jedes Lösungssystem einer homogenen linearen Differentialgleichung gilt die
Formel von LIOUVILLE :
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(9.35) |
Aus dieser Gleichung folgt, daß die WRONSKI-Determinante nur identisch
verschwinden kann.
Das bedeutet:
Die
Lösungen 
der homogenen linearen
Differentialgleichung sind genau dann linear abhängig, wenn nur an einer einzigen Stelle
des betrachteten Intervalls 
gilt.
Wenn dagegen die Lösungen
ein Fundamentalsystem von Lösungen
bilden, dann lautet die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung
(9.33)
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(9.36) |
