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aus 
,
die den gesamten Raum 
erzeugt,
d.h. für die 
gilt, nennt man (algebraische) Basis
oder HAMELsche Basis des Vektorraumes .
Also ist 
genau dann eine Basis von ,
wenn sich jeder
Vektor 
in der Form 
darstellen
läßt, wobei die Koeffizienten 
eindeutig bestimmt sind und lediglich
eine endliche (von 
abhängige) Anzahl von ihnen von Null verschieden ist.
Jeder nichttriviale Vektorraum
(d.h. 
)
besitzt wenigstens eine
algebraische Basis, und zu jeder linear unabhängigen Teilmenge 
aus
gibt es eine
algebraische Basis von ,
die
enthält.
Ein Vektorraum
heißt m-dimensional oder von der Dimension 
,
wenn es in ihm eine Basis aus 
Vektoren gibt.
Das bedeutet, es existieren in 
linear unabhängige Vektoren, und jedes
System von 
Vektoren ist linear abhängig.
Ein Vektorraum heißt unendlichdimensional , wenn er keine endliche Basis
besitzt, d.h., wenn es für jede natürliche Zahl
in
stets
linear
unabhängige Vektoren gibt.
Bis auf den Raum 
,
dessen Dimension gleich 
ist, sind alle anderen
Vektorräume in den Beispielen B bis G und in den
Beispielen A bis E unendlichdimensional.
Der Teilraum 
ist dreidimensional.
Wie im endlichdimensionalen Falle haben auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum
zwei Basen stets die gleiche Mächtigkeit (Kardinalzahl), die man mit 
bezeichnet.
Die Dimension ist somit eine Invariante des Vektorraumes, hängt also nicht von der
konkreten Auswahl einer algebraischen Basis ab.
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