Allgemeine Form
Allgemeine Form einer linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei
unabhängigen Variablen 
und einer unbekannten Funktion 
heißt eine
Gleichung der Gestalt
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(9.79a) |
wobei die Koeffizienten 
und das freie Glied 
bekannte Funktionen
von 
und 
sind.
Die Form der Lösung dieser Differentialgleichung hängt vom Vorzeichen der
Diskriminante
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(9.79b) |
in einem betrachteten Gebiet ab.
Man unterscheidet die folgenden Formen:
1. 
:
Hyperbolischer Typ.
2. 
:
Parabolischer Typ.
3. 
:
Elliptischer Typ.
4. 
ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ.
Eine wichtige Eigenschaft der Diskriminante
besteht darin, daß ihr Vorzeichen
invariant ist gegen beliebige Transformationen der unabhängigen Variablen, z.B. bei der
Einführung neuer Koordinaten in der -Ebene.
Somit ist auch der Typ der Differentialgleichung eine Invariante bezüglich der Wahl der
unabhängigen Variablen.
