Gleichung und Lösungen
Die SG-Gleichung für die Evolutionsfunktion 
lautet
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(9.141) |
Sie besitzt die folgenden Solitonlösungen:
Kink-Soliton:
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(9.142) |
wobei 
und 
gilt.
In der Abbildung ist das Kink-Soliton (9.142) der Gleichung (9.141)
für 
dargestellt.
Das Kink-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter 
und 
bestimmt,
die Geschwindigkeit ist unabhängig von der Amplitude, die Zeit- und die Ortsableitung
sind gewöhnliche lokalisierte Solitonen:
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(9.143) |
Antikink-Soliton:
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(9.144) |
Kink-Antikink-Soliton: Mit 
entsteht aus (9.142)
bzw. (9.144) ein statisches Kink-Antikink-Soliton:
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(9.145) |
Weitere Lösungen von (9.141) sind:
Kink-Kink-Kollision:
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(9.146) |
Kink-Antikink-Kollision:
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(9.147) |
Doppel- oder Breather-Soliton, auch Kink-Antikink-Dublett:
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(9.148) |
Diese Gleichung (9.148) stellt eine stationäre Welle dar, deren Einhüllende
mit der Frequenz 
moduliert ist.
Örtlich periodisches Kink-Gitter:
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(9.149a) |
Zwischen Wellenlänge 
und Gitterkonstante 
besteht die Beziehung
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(9.149b) |
Für 
und damit 
,
also
ergibt sich
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(9.149c) |
d.h. wieder das Kink-Soliton (9.142) und das Antikink-Soliton
(9.144) mit 
.
Hinweis: Mit sn
ist eine JACOBIsche elliptische Funktion
mit dem Modul
und der Periode 
bezeichnet:
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(9.150a) |
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(9.150b) |
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(9.150c) |
Die Gleichung (9.150b) geht aus der inversen Funktion
(14.102b) zum elliptischen Integral 1. Gattung
durch die Substitution 
hervor.
Die Reihenentwicklung des vollständigen elliptischen Integrals
ist als Gleichung (8.104) angegeben.
